频率响应法-相对稳定性分析

为了使控制系统能可靠地工作，不但要求它能稳定，而且还希望有足够的稳定裕量，使系统在环境发生变化或存在干扰的情况下仍能工作，这即为相对稳定性的概念。

在讨论系统的稳定裕量时，首先要假定开环系统是稳定的，是最小相位系统，即开环系统的零、极点均仅位于s的左半平面，否则讨论系统的稳定裕量是无意义的。

为了说明相对稳定性的概念，图5－49为一典型的I型系统 曲线，其开环系统的传递函数为： 。根据奈氏判据可知，当 时，系统不稳定，奈氏曲线包围（－1，j0）点；当 时，系统产生等幅振荡，奈氏曲线经过（－1，j0）点；当 时，系统稳定，奈氏曲线不包围（－1，j0）点。因此直观地看，对于开环稳定的系统，要求闭环系统有一定的稳定性，不仅要求 的幅频特性不包围（－1，j0）点，而且应与该点有一定的距离，即有一定的稳定裕量。

衡量闭环系统相对稳定性的具体指标有幅值裕量 和相位裕量 。在Matlab中，相应地有专门的函数来求取上述指标：Margin。具体用法参见下面的例子。

5.5.1 用奈氏图表示相位裕量和幅值裕量

1、 相位裕量

设一开环稳定的系统的奈氏曲线 负实轴相交于G点，与单位圆相交于C点，如图5－50。对应于 时的频率 （交点C）称为增益穿越频率，又称剪切频率或交界频率。在剪切频率 处，使系统达到临界稳定状态时所能接受的附加相位迟后角，定义为相位裕量，用 表示之。对于任何系统，相位裕量 的算式为

(5-54)

式中， 是开环频率特性在剪切频率 处的相位。

不难理解，对于开环稳定的系统，若 ，表示 曲线包围（－1，j0）点，相应的闭环系统是不稳定的；反之，若 ，则相应的闭环系统是稳定的。一般 越大，系统的相对稳定性也就越好。因为系统的参数并非绝对不变，如果 太小，就有可能因参数的变化而使奈奎斯特曲线包围（－1，j0）点，即导致系统不稳定。

2、 幅值裕量

幅值裕量是系统相对稳定性的另一度量指标。如图5－50所示，开环频率特性的相角 时的频率 （交点G）处， 称为相位穿越频率，又称为相位交界频率。开环幅值 的倒数称为增益裕量，用 表示。即

(5-55)

上式表示系统在变到临界稳定时，系统的增益能增大多少。

由奈奎斯特稳定判据可知，对于最小相位系统，其闭环稳定的充要条件是 曲线不包围（－1，j0）点，即 曲线与其负实轴交点处的模小于1，此时对应的 。反之，对于不稳定的系统，其 ，如图5－51所示，闭环系统是不稳定的。

5.5.2 用伯德图表示相位裕量和幅值裕量

上述的相位裕量和幅值裕量也可在对数幅相图（Bode图）上表示。对应于图5－50，其Bode图如图5－52所示。图5－50中的增益穿越频率 对应于图5－52的零分贝线上的点，即开环对数幅频特性曲线与 轴的交点；图5－50中相位穿越频率 的点在Bode图上是对应相角 的点，即相频曲线与 水平线的交点。从图5－50可见，相频特性曲线上对应于增益穿越频率 的点位于 水平线的上方。

在Bode图上，增益裕量常用分贝数表示，即

上式表示系统在到达临界稳定前，允许系统增益增大的倍数。对于稳定的系统，由于 ＜1，即 为负，由式（5－56）可知，增益裕量为正，这时对数幅频特性曲线上对应 的点在 轴下方，如图5－52；当系统不稳定时，相应地，可将图5－51绘制在Bode图上，如图5－53，这时相位裕量和幅值裕量均是负的。

增益裕量和相位裕量通常作为设计控制系统的频域性能指标。大的增益裕量和相位裕量表明控制系统是非常稳定的，但此时控制系统的响应速度将是非常慢的，而当增益裕量接近1或相位裕量接近零时，则对应一个高度振荡的系统。因此从工程的角度出发，一般控制系统设计时采用如下的裕量范围是比较合适的： 在 到 之间，增益裕量大于6dB。

同时需要指出，单独使用增益裕量或相位裕量作性能分析，都不足以说明系统的相对稳定性，必须同时给出这两个稳定裕量。对于大多数控制系统来说，这两个指标是统一的，但有时情况并非如此，图5－54a、图5－54b分别表示了这两种情况下的频率特性。

例5－10　试求：（1）K＝1时系统的相位裕量和增益裕量。（2）要求通过增益K的调整，使系统的增益裕量 ，相位裕量 。

例5－10　试求：（1）K＝1时系统的相位裕量和增益裕量。（2）要求通过增益K的调整，使系统的增益裕量 ，相位裕量 。

已知一单位反馈系统的开环传递函数为

解　　（1）基于在 处的开环频率特性的相角为

即

由三角函数的性质，有

求得 。

同时，在 处的开环对数幅值为

则

根据K＝1时的开环系统传递函数，可知系统的 ，从而

此小题也可用Matlab直接求解。

g=tf(1,conv([1,0],conv([0.2,1],[0.05,1])))

Transfer funcTIon:
1
-----------------------
0.01 s^3 + 0.25 s^2 + s

margin(g)

（2）由题意得 ，即 。在 处的对数幅值为

上式简化后为

解之得，K＝2.5。

　　根据 的要求，则得

即

利用三角函数的性质，可求得 。于是有

即

求解上式得 。不难看出，K取2.5就能同时满足 和 的要求。

5.5.3 对数幅频特性中频段与系统动态性能的关系

在分析控制系统的开环对数幅相频率特性时，习惯上将频率范围分为三个频段：低频段、中频段和高频段。其中低频段反映了控制系统的静态特性，关于此点在5.3.4中我们作了分析；中频段则反映了系统的动态特性，这是控制设计中一个非常关心的问题，这将在下面作介绍；高频段则主要反映了系统的抗干扰能力，对动态性能影响不大，将不作介绍。

中频段的主要参数有：剪切频率 、相位裕量 和中频宽度h。对于图5－56所示系统，其中频宽度一般定义在斜率等于 、靠近 处：

(5-57)

一般要求最小相位系统的开环对数幅频特性在 处的斜率等于 。如果在该处的斜率等于或小于为 ，则对应的系统可能不稳定，或者系统即使稳定，但因相位裕量较小，系统的稳定性也较差。下面通过二阶系统和三阶系统对上述结论进行说明。

设一标准二阶系统的开环传递函数为：

式中，自然振荡频率 ，阻尼比 ，其中 为转角频率，则：

（1） 当 时， ，如图5－57a示，阶跃响应是衰减较慢的振荡过程；

（2） 当 时， ，如图5－57b示，阶跃响应是衰减较快的振荡过程；

（3） 当 时， ，如图5－57c示，阶跃响应是接近无振荡的非周期过程；

再设一个三阶系统的开环传函数为：

取K＝0.1，1,10,100，得到如图5－58的幅频曲线a，b，c，d。由图可见。当 时，式（5－59）的对数幅频特性曲线如图5－58所示的曲线 。剪切频率 在斜率为 的区段内，对照图5－58下部的相频特性曲线可知，相位裕量为 ，因此闭环系统是稳定的。若开环放大系数K值减小，则对数幅频特性曲线向下垂直移动。这时剪切频率 向左移动[注意，K变化时，系统的相频特性曲线 不变。由图5－58可知，相位裕量 将增大。当剪切频率 移至斜率为 的区段内时，相位裕量 将更大，如图5－58的曲线b所示。反之，增大开环放大系数K，剪切频率 将向右移动，相位裕量 将减小，当 移至 时（ 为相位穿越频率）， ，闭环系统处于临界稳定。当 时， ，这时对数幅频特性曲线的中频段斜率仍为 ，如图5－58曲线c所示。因这时 为负值，所以闭环系统已不稳定了。如果开环放大系数K继续加大，使剪切频率 落在对数幅频特性曲线斜率为 的区段内，如图5－58曲线b所示。这时相位裕量 “负”得更历害，系统将更加不稳定。

根据上述分析，可得到如下结论：为使闭环系统稳定且系统的阶跃响应无超调量或或超调很小，应使剪切频率 位于斜率为 的线段上，同时要有一定的中频宽度，中频段越宽，则阶跃响应越接近非周期过程。