设计控制系统时应满足多种性能指标，但首要的技术要求是系统全部时间内必须稳定。一般来说，稳定性成为区分系统是否有用的标志。从实际应用的角度来看，可以认为只有稳定系统才有用。
3.1.1 稳定性的基本概念 原来处于平衡状态的系统，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。所谓稳定性，就是指系统在扰动作用消失后，经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的；若干扰消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，偏差越来越大，则系统是不稳定的。 系统的稳定性又分两种情况：一是大范围内稳定，即起始偏差可以很大，系统仍稳定。另一种是小范围内稳定，即起始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统，如果在小范围内是稳定的，则它一定也是在大范围内稳定的。而对非线性系统，在小范围内稳定，在大范围内就不一定是稳定的。本章所研究的稳定性问题，是线性系统的稳定性，因而是大范围内的稳定性问题。 一般来说，系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性，如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的，则此系统就被认为是总体稳定的。不难证明，对于线性定常系统，零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件是一致的。所以线性定常系统的稳定性是通过系统响应的稳定性来表达的。
3.1.2 线性系统的稳定性 线性系统的特性或状态是由线性微分方程来描述的，而微分方程的解通常就是系统输出量的时间表达式，它包含两部分：稳态分量（又称强制分量）和瞬态分量（又称自由分量）。稳态分量对应微分方程的特解，与外作用形式有关；瞬态分量对应微分方程的通解，是系统齐次方程的解，它与系统本身的参数、结构和初始条件有关，而与外作用形式无关。研究系统的稳定性，就是研究系统输出量中的瞬态分量的运动形式。这种运动形式完全取决于系统的特征方程式，即齐次微分方程式，因为它正是研究扰动消除后输出量运动形式的。 单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为： 系统的特征方程式为 显然，它是由系统本身的参数和结构所决定的。
3.1.3 线性系统稳定的充分必要条件 从上节的例子可以看出，线性系统稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程根。如果特征方程的全部根都是负实数或实部为负的复数，则系统是稳定的。如果特征方程的各根中即使只有一个根是正实数或只有一对根是实部为正的复数，则微分方程的解中就会出现发散项。 由此可得出如下结论：线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均为负数或具有负的实数部分；或者说，特征方程式的所有根均在复数平面的左半部分。由于系统特征方程式的根就是系统的极点，所以又可以说，系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在S平面的左半部分。 3.1.4 劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据 判别系统稳定性最基本的方法是根据特征方程式的根的性质来判定。但求解高于三阶的特征方程式相当复杂和困难。所以在实际应用中提出了各种工程方法，它们无需求特征根，但都说明了特征根在复平面上的分布情况，从而判别系统的稳定性。本节主要介绍代数判据。 （一） 系统稳定性的初步判别 设已知控制系统的特征方程 式中所有系数均为实数，且a0>0 系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。可简单证明如下： 将特征方程写成用特征根表达的形式  | （3-1） |
假如所有特征根均在S平面的左半部，即-σi<0，-αk<0，则式（3-1）中的σi<0，αk<0 （i=1，…，q；k=1，…，l；q+2l=n），若把式（3-1）的乘积展开，s多项式的各项系数必然均大于零。 根据这一原则，在判别系统稳定性时，可事先检查一下系统特征方程式的系数是否均为正数。如果有任何一项系数为负数或等于零（即缺项），则系统是不稳定或临界稳定的。假如只是判别系统是否稳定，到此就不必作进一步的判别了。如果系数均为正数，对二阶系统来说肯定是稳定的（必要且充分），但对二阶以上的系统，还要作进一步的判别。 （二） 劳斯判据（Routh） 将系统的特征方程写成如下标准形式 并将各系数组成如下排列的劳斯表： | sn | a0 | a2 | a4 | a6 | ... | | sn-1 | a1 | a3 | a5 | a7 | ... | | sn-2 | b1 | b2 | b3 | b4 | ... | | sn-3 | c1 | c2 | c3 | c4 | ... | .
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| .
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. | | | s2 | e1 | c2 | | | | | s1 | f1 | e2 | | | | | s0 | g1 | | | | |
表中的有关系数为 ……………………… 系数bi的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。 ……………………… 这一计算过程一直进行到n行为止。为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。 列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情况。 1．第一列所有系数均不为零的情况，这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。 例3-1 三阶系统的特征方程为 D(s)= =0 列出劳斯表 | s3 | a0 | a2 | | s2 | a1 | a3 | | s1 |  | | | s0 | a3 | |
系统稳定的充分必要条件是 a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0 例3-2 四阶系统特征方程为 D(s)=  =0 列出劳斯表 | s4 | a0 | a2 | a4 | | s3 | a1 | a3 | 0 | | s2 |  | a4 | | | s1 |  | | | | s0 | a4 | | |
四阶系统稳定的充分必要条件是各项系数为正值，并且 a1a2-a0a3>0，a3(a1a2-a0a3)-a12a4>0 例3-3 设已知系统的特征方程为 D(s)=  =0 列出劳斯表 | s5 | 1 | 1 | 4 | | | s4 | 2 | 3 | 5 | | | s3 | -1 | 3 | 0 | （各元素乘以2） | | s2 | 9 | 5 | 0 | | | s1 | 32 | | | （各元素乘以9） | | s0 | 5 | | | |
由上表可以看出，第一列各数值的符号改变了两次，由+2变成-1，又由-1改变成+9，因此该系统有两个正实部的极点，系统是不稳定的。
2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。在计算劳斯表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符号相反，表明这里有一个符号变化。 例3-4 下列特征方程  =0 劳斯表 | s4 | 1 | 1 | 1 | | s3 | 2 | 2 | 0 | | s2 | ε(≈0) | 1 | | | s1 | 2-2/ε | 1 | | | s0 | 1 | | |
现在考察第一列中各项数值。当ε趋近于零时，2-2/ε 的值是一很大的负值，因此可以认为第一列中的各项数值的符号改变了两次。按劳斯判据，该系统有两个极点具有正实部，系统是不稳定的。 3．某行所有各项系数均为零的情况，如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项，这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和（或）一些共轭虚数极点。为了写出下面各行，将不为零的最后一行的各项组成一个方程，这个方程叫作辅助方程，式中s均为偶次。由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零的各项，然后继续按照劳斯表的列写方法，写出以下的各行。至于这些根，可以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数为零，而且没有其它项时，可以像情况2所述那样，用ε代替为零的一项，然后按通常方法计算阵列中其余各项。 例3-5 已知系统的特征方程为
D(s)=  =0 劳斯表中的s6~s3各项为 | s6 | 1 | 8 | 20 | 16 | | | s5 | 2 | 12 | 16 | 0 | | | s4 | 1 | 6 | 8 | | （各元素乘以1/2） | | s3 | 0 | 0 | 0 | | |
由上表看出，s3行的各项全为零。为了求出s3~ s0各项，将s4行的各项组成辅助方程： A(s)=  将辅助方程A(s)对s求导数，得  用上式中的各项系数作为s3行的各项系数，并计算以下各行的各项系数，得劳斯表为 s6 | s6 | 1 | 8 | 20 | 16 | | s5 | 2 | 12 | 16 | 0 | | s4 | 1 | 6 | 8 | | | s3 | 0 | 12 | | | | s2 | 3 | 8 | | | | s1 | 3/4 | | | | | s0 | 8 | | | |
从上表的第一列可以看出，各项符号没有改变，因此可以确定在右半平面没有极点。另外，由于s3行的各项皆为零，这表示有共轭虚数极点。这些极点可由辅助方程求出。 本例中的辅助方程是  =0 由此求得大小相等符号相反的虚数极点为  , （三） 赫尔维茨判据（Hurwitz） 分析6阶以下系统的稳定性时，还可以应用赫尔维茨判据。将系统的特征方程写成如下标准形式 现以它的各项系数写出如下之行列式： 行列式中，对角线上各元为特征方程中自第二项开始的各项系数。每行以对角线上各元为准，写对角线左方各元时，系数a的脚标递增；写对角线右方各元时，系数a的脚标递减。当写到在特征方程中不存在系数时，则以零来代替。 赫尔维茨判据描述如下：系统稳定的充分必要条件在a0>0的情况下是，上述各行列式的各阶主子或均大于零，即对稳定系统来说要求 赫尔维茨稳定判据虽然在形式上与劳斯判据不同，但实际结论是相同的。 例3-6 三阶系统的特征方程为D(s)=  =0 列出系数行列式  赫尔维茨稳定判据指出，该三阶系统稳定的充分和必要条件是： △1=a1>0  =a1a2-a0a3>0
 =a3(a1a2-a0a3)>0
或者写成系统稳定的充分必要条件是： a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0 又如四阶系统特征方程为 D(s)=  =0 系统稳定的充分必要条件是： a1>0  =a1a2-a0a3>0
 =a3(a1a2-a0a3)- a4>0
 =a4[a3(a1a2-a0a3)- a4]>0
或者写成四阶系统稳定的充分必要条件是： a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a1a2-a0a3>0， a1a2-a0a3>0，a3(a1a2-a0a3)- a4>0 以上得出的结果与前述劳斯判据所得的三阶和四阶系统稳定的充分必要条件完全一样。 应用代数判据不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数变化对系统稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。 例3-7 设反馈控制系统如图3-1所示，求满足稳定要求时K的临界值。 解 系统闭环传递函数是  其特征方程为 D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0 或  =0 列出劳斯表 | s3 | 1 | 5 | | s2 | 6 | K | | s1 |  | | | s0 | K | |
按劳斯判据，要使系统稳定，其第一列应为正数，即 K>0，30-K>0 则有 0从而得出满足稳定的临界值Kc=30。 例3-8 已知系统的闭环传递函数为  求临界放大系数Kc及其与参量T1、T2及T3的关系。 解 系统的特征方程为 D(s)=T1T2T3s3+(T1T2+T1T3+T2T3)s2+(T1+T2+T3)s+1+K=0 根据劳斯判据，稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数均大于零，并且a1a2-a0a3>0。现在系统的时间常数及放大系数均为正，所以满足各项系数均大于零的条件。将各项系数代入a1a2-a0a3>0中，得 (T1+T2+T3)(T1T2+T1T3+T2T3)-T1T2T3(1+K)>0 或 1+K<(T1+T2+T3)(  +  +  ) 从而得临界放大系数 Kc=(T1+T2+T3)( + + )-1 由此式看出，T1、T2、T3中只要有一个足够小，那么Kc就可以增大。决定Kc大小的，实际上并不是各时间常数的绝对值，而是其相对值，即取决于各时间常数的比值。将上式变换成 Kc=2+  + +  +  +  +  还可以求出开环增益临界值Kc的极小值Kcmin与参量T1、T2及T3的关系。为此，先求出Kc对T1、T2及T3的偏导并令其为零。 = + - -  =0  =  +  -  -  =0
 =  +  - -  =0
整理以上各式，即得 (T2+T3)( -T2T3)=0 (T1+T3)( -T1T3)=0 (T1+T2)( -T1T2)=0 由此可见，T1、T2及T3必须同时满足以上三式，Kc才有极值。又因为以上三式的形式是一样的，所以能够看出，只有 T1=T2=T3=T 时，Kc才有极值。为进一步确定极值是极大值抑或极小值，可从Kc对T的二阶偏导来判断。由于  =  >0
故知极值为极小而非极大。 将T1=T2=T3=T的关系代入到Kc中，则有 Kcmin=8 这个结论表明，由三个非周期环节串联组成的反馈控制系统，当三个非周期环节的时间相等时，系统的临界开环增益最低。 若取T1=10T2，T2=T3，则可求得Kc=24.2。时间常数的数值错开得愈多，则Kc可以提高得愈多。 | 
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