滑动滤波器型谱分析器在极窄带滤波中的应用

【摘　要】滑动滤波器型谱分析器是通过短时傅立叶变换来进行实时谱分析的，本文详细分析了其用作滤波器时的频域特性。给出了极窄带滤波器的具体实现方案。
关键词：谱分析器 极窄带滤波器 短时傅里叶变换
　　
1 引　言
　　一军用通讯仪器要求能够监测某一信号相对较密集的频段内某一个频率点的信号特征随时间变化的情况，以便判断该信号的调制方式。由于该频段的信号非常密集，所以要求在提取该频率点的信号时，带宽极窄：－3dB带宽限制在1Hz以内，尽量减少相邻频率点信号对该频率点的影响 ，从而精确地获知其特征。
　　显然，在模拟电路中采用传统的谐振式电路是很难达到所要求的指标的：第一，采用单级的选频电路选频带宽相对1Hz来说极大；第二，就算是采用高Q值的多级选频电路串联工作方式，也需要很多级数，而多级方式下一致地改变调谐的中心频率是很难做到的，而且由于器件参数离散性的影响，要求所有的选频回路调谐在偏差不超过1Hz的中心频率上，简直是不可能的，所以无法采用传统的谐振式电路。而采用晶体滤波器相对一般的滤波器来说谐振带宽稍微要窄一点，但是其谐振的频率范围至少也有几十赫兹，仍然达不到要求的指标，而且晶体的谐振还具有多谐性，也无法采用。相对而言，本文借用了滑动滤波器型谱分析器思想的数字处理方式，不仅可以达到要求的指标，而且算法非常简单，具有模拟方式不可比拟的灵活性。整个的功能框图如图1所示。

图1中，乘法器和低通滤波器构成了下混频的功能：将需要监测的很高频率的信号变频下来，以便进一步处理。在该处混频时，本振的频率f0和待监测的频率点的频率一致。所以经混频之后 ，要监测的信号频率为0，因此只要分析下混频之后直流信号的特征，就能监测信号。实际上由于监测信号点的频率极高，达到了GHz的数量级，一次混频无法完成，所以实现时采用了二次混频的技术。同时低通滤波器还有抗频谱混叠的作用，为下一步的数字化作了准备。在数据采样时考虑到输入信号的实际带宽，及其他功能模块的实现，采用了固定的采样频率fs＝80kHz，12bit量化。信号经过数字化后，由低通滤波器来实现信号提取的功能。主要的技术关键在于获取可变的且高精度的本振频率f0和极窄带宽的低通滤波器。其中本振频率f0已经得到解决，可以借助于已经开发成功的小数分频来直接合成。
　　本文主要讨论如何采用滑动滤波器型谱分析器来实现极窄带信号的提取。
2 关于滑动滤波器型谱分析器的讨论
　　滑动滤波器型谱分析器可以进行实时的谱分析，实质上进行了短时傅立叶变换，从原理上来看是利用了DFT算法，只不过DFT的求和范围是0～（M－1），而滑动滤波器型谱分析器则是从当前时刻n开始后退的M个点的信号段。其表达式定义如下：

可见，X（n，k）不仅是频率k的函数，而且是时间n的函数，在M＝2N时，经变量代换l＝n－m后得

从频域的角度来看可能更容易理解一些，从系统函数来看该系统结构，其分子是一个梳状滤波器，在单位圆上每隔有一个零点，其分母有单极点，所以在单位圆上零极点抵消，只让该点的频率成分通过。这只是对频域较粗略地分析而得出的结果，但是否只有该频率点成分的信号分量通过，还是以该频率点为中心的某一段信号都可以通过，这在一般的文献中基本都没有给出进一步的分析。
实际上，由（3）式得：

,其等效低通主瓣的宽度为，旁瓣峰值衰耗为－13dB，最小阻带衰耗为－21dB，旁瓣的衰减速度为6dB／oct。除了中心频率经过调制之外，与矩形窗的指标完全一致。
　　因此整个滑动滤波器型谱分析器的第1条通道实质是一个低通滤波器，而第N条通道是一个高通滤波器，其余的通道实质上是以为中心的带通滤波器。其频域特性在上面已经给出。下面就结合本系统的应用给出其作为低通滤波器的实例。
3　极窄带低通滤波器的应用分析
　　在本应用中，只要求提取直流分量，所以只取k＝0的通道来分析，其对应的谱分析器的结构如图2所示。
　　　　　　　　　　　　　
　　图2对应的表达式为：
　　　　　　　　　　　　　　
出，该通路在结构上是IIR（Infinite ImpulseResponse）的，而实质上却是FIR(finite Impulse Response)的；所以很容易就可以得到其频响特性。若fs＝8 0 kHz，M＝1 0 0时 ，其频响曲线可由MATLAB仿真如图3、图4所示。
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　由图3可以看出，当fs＝80kHz，M＝100时，该低通滤波器的低通主瓣的宽度还是较大的，图4是－3dB处的放大频响特性曲线，其－3dB对应的数字频率近似为8．7732×10－3π，而fs＝80kHz，可以算出－3dB截止频率在f3＝80×103×8．7732×10－3×π÷2π＝350．9Hz模拟频率点　。而且在这种情况下，讨论其－3dB带宽是没有意义的，因为主瓣的宽度相对所要求的1Hz来说太宽了，会混入相邻的极宽频段信号，导致监测出来的信号与实际情况相去甚远。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　对于本应用来讲，最重要的是主瓣的宽度要窄，其次才考虑旁瓣的峰值衰耗。而在所有的窗函数中，矩形窗的主瓣宽度是最窄的，因此，毫无疑问在本原型设计中选用了矩形窗。在窗函数选定之后，要降低滤波器的低通截止频率，可以通过降低主瓣的宽度来实现，也就是加大M的值。如当M＝1000，fs＝80kHz时，其幅频特性如图5所示。其－3dB的截止频率为35Hz左右。阻带内最小衰耗为－32．4dB。在这种情况下，可以看到滤波器的带宽依然与所要求的指标有相当的距离。仅依靠增加M的值固然可以实现，但付出的代价明显很大。为达到给定的指标，M值大约应该在10000左右。每个数据为14比特，需要近似为17k的数据容量。对于采用基于DSP平台的系统来讲，要专门分配给一个滤波器如此大的数据区，有点不太可能。所以必须考虑采用数据下采样来实现该滤波器，这将在下一部分讨论。
4　窄带滤波器的实现
　　在第一部分对滑动滤波器型谱分析器的理论分析的基础上，可以看出仅仅依靠增加采样数据的点数来达到所要求的指标是不经济的，因而可以从另一方面来解决问题。因为在数字域里，频率的概念是相对的，所以降低滤波器的工作频率，相应地可以降低滤波器的截止频率。如原来滤波器的工作频率为80kHz，对应的－3dB截止频率为35Hz，如果其工作的频率变为800Hz，则滤波器的－3dB截止频率为0．35Hz，而且低通主瓣的频带宽度为1．6Hz，已经超过了所要求主瓣频带宽度为2Hz的指标。　
　　根据上面的分析，将滤波器的工作频率降为原来的百分之一，可以通过100：1的下采样来实现。在下采样之前，为防止频谱混叠，还加入一个低通滤波器。从下采样的原理来讲，该滤波器的低通截止频率至少要低于为下采样的比率。而上面分析的低通滤波器，其主瓣的宽度为在M＝1000，fs＝80kHz时，相当于160Hz，比2＝800Hz小得多，所以，在这里依然可以采用该低通滤波器作为下采样抗混叠滤波器。
　　因此最终该极窄带低通滤波器的结构如图6所示。

　　之所以借用滑动滤波器型的谱分析器来实现该滤波器，首先是因为它本身就是一个滤波器，而且实现起来特别简单，对于一条通路来说，只需要两次简单的加法，两次数据存储，一次归一化的乘法就可以完成。其次矩形窗函数虽然存在固有的最小阻带衰耗小的缺点，但是在本处应用中最重要的是主瓣宽度要小，所以采用了该结构。　　
　　该滤波器的实现方法可以有两种，因为算法比较简单，可以在CPLD中实现。其中要注意一个问题是，为了避免实现复杂的乘法运算，可以把M取为1024，则乘以归一化因子可以用右移10位实现，输入的数据是12位的，因此所有的操作只要处理最高的两位就足够了。总共需要处理的数据量为1024×2bit＝2048bit，所需的存储空间极少，如ALTERA的FLEX系列中每个EAB（EmbededArray Block）中提供了可以配置成1×1024bit的RAM，所以四个EAB加上极少量的逻辑控制就可以实现该窄带滤波器。也可以采用通用的DSP为平台，通过程序代码来实现。对于一般的DSP芯片中的数据RAM容量不是非常的宽裕，所以实现的时候，同样可以借用在CPLD实现的思路。
5　结束语
　　本文主要讨论了滑动滤波器型谱分析器的频域特征，并详细分析了作为低通滤波器在实际中的应用，同时具体给出了两种不同的实现方案。实验的频谱分析结果表明，该窄带滤波器与预期的理论分析结果完全一致，其带通指标超过了设计所要求的指标。
根据文中的理论分析，滑动滤波器型谱分析器同样也可以应用于极窄带的带通或高通滤波器的设计中，只要将调制的中心频率设置在所需的频率点上即可。

　

1　张宗橙，张玲华，曹雪虹．数字信号处理与应用．南京：东南大学出版社，1997
2　宗孔德．数字信号处理．北京：清华大学出版社，1988
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5　A．N．Akansu＆R．A．Haddad．Multiresolution SignalDecomposition：Transforms，Subbanks，and Wavelets．Acadamic Press，INC．，Boston 1992
6　Peter Pirsch．Architectures for DigitalSignalProce－ssing，University ofHannover，Germany，John Wiley＆Sons Press，1998